Mathematics : 2013

วันพฤหัสบดีที่ 5 กันยายน พ.ศ. 2556

การบวกจำนวนเต็ม

การบวกจำนวนเต็ม
เรื่อง การบวกจำนวนเต็ม การบวกจำนวนเต็มชนิดเดียวกัน หลักการ คือ ให้นำค่าสัมบูรณ์ของจำนวนเต็มนั้นมาบวกกัน ผลลัพธ์ที่ได้จะเป็นจำนวนเต็มบวกหรือจำนวนเต็มลบตามชนิดของจำนวนที่นำมาบวกกัน 1. การบวกจำนวนเต็มบวกกับจำนวนเต็มบวก ตัวอย่างที่ 1 10 + 12 = ค่าสัมบูรณ์ของ 10 หรือ |10| = 10 ค่าสัมบูรณ์ของ 12 หรือ |12| = 12 ดังนั้น |10| + |12| = 10 + 12 = 22 นั่นคือ 10 + 12 = 22 ถ้าพิจารณาการบวกโดยใช้เส้นจำนวน ก็จะได้ดังนี้ ตัวอย่างที่ 2 3 + 4 = 0 1 2 3 4 5 6 7 ดังนั้น 3 + 4 = 7 การใช้เส้นจำนวนในการหาผลบวกระหว่างจำนวนเต็มวกกับจำนวนเต็มบวกการเคลื่อนที่ของลูกศร จะไปในทิศทางเดียวกัน คือ เคลื่อนที่ไปทางขวาตลอด ดังนั้นเมื่อจบการเคลื่อนที่ ผลลัพธ์ที่ได้จึงเป็นจำนวนเต็มบวกที่มีระยะห่างจาก 0 เป็นระยะทางเท่ากับผลบวกของระยะทางที่ทั้งสองห่างจาก 0 2. การบวกจำนวนเต็มลบกับจำนวนเต็มลบ หลักการ คือ นำค่าสัมบูรณ์มาบวกกัน ผลลัพธ์ที่ได้จะเป็นจำนวนเต็มลบ ตัวอย่างที่ 3 (-15) + (-20) = ค่าสัมบูรณ์ของ -15 หรือ |-15| = 15 ค่าสัมบูรณ์ของ -20 หรือ |-20| = 20 ดังนั้น |15| + |20| = 15 + 20 = 35 แต่ผลลัพธ์ที่ได้ต้องเป็นจำนวนเต็มลบ ดังนั้น (-15) + (-20) = -35 ถ้าพิจารณาเส้นจำนวน ก็จะได้ดังนี้ ตัวอย่างที่ 4 (-3) + (-3) = -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 ดังนั้น (-3) + (-3) = -6 จะเห็นว่าการเคลื่อนที่ของลูกศรจะไปในทิศทางเดียวกันคือ เคลื่อนไปทางซ้ายตลอด ดังนั้นเมื่อจบการเคลื่อนที่ผลลัพธ์ที่ได้จึงเป็นจำนวนเต็มลบที่มีระยะห่างจาก 0 เป็นระยะทางเท่ากับผลบวกของระยะทางที่จำนวนทั้งสองอยู่ห่างจากศูนย์เราจึงสามารถสรุปเป็นวิธีการที่จะใช้ในการหาผลบวกระหว่างจำนวนเต็มลบ สรุป 1. การบวกจำนวนเต็มบวกกับจำนวนเต็มบวก คือ การนำค่าสัมบูรณ์มาบวกกัน ผลลัพธ์ที่ได้เป็นจำนวนเต็มบวก 2. การบวกจำนวนเต็มลบกับจำนวนเต็มลบ คือ การนำค่าสัมบูรณ์มาบวกกัน ผลลัพธ์ที่ได้เป็นจำนวนเต็มลบ การบวกจำนวนเต็มต่างชนิดกัน หลักการ คือ ให้นำค่าสัมบูรณ์ของจำนวนเต็มทั้งสองนั้นมาลบกันและผล ลัพธ์จะเป็น จำนวนเต็มบวกหรือจำนวนเต็มลบตามจำนวนที่มีค่าสัมบูรณ์มาก ตัวอย่างที่ 1 -9 + 5 = ค่าสัมบูรณ์ของ -9 หรือ |-9| = 9 ค่าสัมบูรณ์ของ 5 หรือ |5| = 5 นำค่าสัมบูรณ์ที่มากกว่าเป็นตัวตั้งแล้วลบด้วยค่าสัมบูรณ์ที่น้อยกว่า จะได้ |-9| - |5| = 9 – 5= 4 ผลลัพธ์ที่ได้เป็นจำนวนเต็มลบ ตามจำนวนที่มีค่าสัมบูรณ์มากกว่า ดังนั้น (-9) + 5 = -4 วิธีสั้นๆ คือ (-9) + 5 = - ( |-9| - |5| ) = - ( 9 - 5 ) = -4 ถ้าพิจารณาเส้นจำนวน ก็จะได้ดังนี้ ตัวอย่างที่ 2 5 + (-2) = -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 หลักการ ใช้ 0 เป็นจุดเริ่มต้น เคลื่อนไปทางขวา 5 หน่วย แล้วเคลื่อนย้อนกลับมาทางซ้าย 2 หน่วย จะหยุดที่ 3 ดังนั้น 5 + (-2) = 3 สรุป การบวกจำนวนเต็มต่างชนิดกัน คือการนำเอาจำนวนที่มีค่าสัมบูรณ์มากกว่าเป็นตัวตั้ง แล้วลบส่วนที่มีค่าสัมบูรณ์น้อยกว่า ผลลัพธ์ที่ได้ เป็นจำนวนเต็มบวก หรือจำนวนเต็มลบ ตามจำนวนที่มีค่าสัมบูรณ์มากกว่า

ระบบสมการเชิงเส้น

ระบบสมการเชิงเส้น (system of linear equations) สมการเชิงเส้น(Linear equation) หมายถึง สมการใด ๆ ที่มีตัวแปร 1 ตัว หรือ 2 ตัว หรือ 3 ตัว แต่กำลังของตัวแปรนั้น ๆ ต้องเป็น 1 เสมอ เช่น aX + bY + cZ = d 1. สมการเชิงเส้นสองตัวแปร (Linear equation with two variable) สมการเชิงเส้นสองตัวแปร คือ สมการที่อยู่ในรูปทั่วไป คือ Ax + By + C = 0 เมื่อ A , B , C เป็นค่าคงที่ A, B ไม่เป็นศูนย์พร้อมกัน และ x , y เป็นตัวแปร ข้อสังเกต 1. สมการเชิงเส้นสองตัวแปร เป็นสมการที่มีตัวแปรสองตัวเลขชี้กำลังของตัวแปรแต่ละตัวเป็น 1 และไม่มีการคูณกันของตัวแปร 2. คำตอบของสมการเชิงเส้นสองตัวแปร ที่มี x และ y เป็นตัวแปรได้แก่ค่าของ x และ y ที่ทำให้สมการเป็นจริง นิยมเขียนในรูปคู่อันดับ ( x , y ) เช่น (4,8) จะได้ว่า x = 4 , y = 8 2. กราฟสมการเชิงเส้นสองตัวแปรกราฟของสมการเชิงเส้นสองตัวแปร คือ กราฟของคำตอบของสมการเชิงเส้นสองตัวแปร ซึ่งเกิดจากการนำคำตอบไปเขียนกราฟจากรูปทั่วไปของสมการเชิงเส้นสองตัวแปร คือ Ax + By + C = 0 จะได้ By = – Ax – C y = (-A/B)x-C/B ให้ a = -A/B และ b = -C/B ปรับรูปสมการใหม่ จะได้ y = ax + b เมื่อ a , b เป็นค่าคงตัว x , y เป็นตัวแปร ( a คือ ความชัน , b เป็นตำแหน่งที่กราฟตัดแกน Y ที่จุด (0, b) )สมการในรูป y = ax + b เรียกว่า รูปมาตรฐานของสมการเชิงเส้นสองตัวแปร โดย a เรียกว่าความชันของเส้นตรง ซึ่งค่าของ a และ b จะทำให้ทราบลักษณะกราฟดังนี้คือ 1. ค่าของ a บอกให้ทราบว่ากราฟทำมุมอย่างไรกับแกน x ดังนี้ a > 0 กราฟจะทำมุมแหลมกับแกน x a < 0 กราฟจะทำมุมป้านกับแกน x a = 0 กราฟจะขนานกับแกน x 2. ค่าของ b จะบอกให้ทราบว่ากราฟตัดแกน y ที่จุดใด โดยกราฟจะตัดแกน y ที่ ( 0 , b) 3. ถ้าสมการใด ๆ ที่มีค่า a เท่ากัน จะได้กราฟที่ขนานกัน 4. ถ้าสมการใด ๆ ที่มีค่า a คูณกันได้ –1 จะได้กราฟ 2 เส้นตั้งฉากกัน 5. เนื่องจากกราฟของสมการ y = ax + b เป็นเส้นตรง ดังนั้นในการเขียนกราฟของสมการดังกล่าวจึงสามารถทำได้โดยการหาจุดเพียง 2 จุด ที่แทน (x, y) แล้วทำให้สมการนั้นเป็นจริง 3. ระบบสมการเชิงเส้นสองตัวแปร (system of linear equation with two variable)ให้ a, b , c , d , e และ f เป็นจำนวนจริงใด ๆ ที่ a , b ไม่เป็นศูนย์พร้อมกันและ c, d ไม่เป็นศูนย์พร้อมกัน เรียก ax + by = e cx + dy = f ว่าระบบสมการเชิงเส้นสองตัวแปร คำตอบของระบบสมการเชิงเส้น คือ ค่าของ x และ y ที่ทำให้ระบบสมการนั้นเป็นจริง ซึ่งอาจมีค่าเดียว มีหลายค่า หรือไม่มีคำตอบก็ได้การแก้ระบบสมการเชิงเส้นมีวิธีการ 3 วิธี คือ 1. โดยการใช้กราฟ 2. โดยการกำจัดตัวแปรตัวใดตัวหนึ่ง 3. โดยการแทนค่าตัวแปรตัวหนึ่งในรูปตัวแปรตัวหนึ่ง 1. การแก้ระบบสมการโดยใช้กราฟ การแก้ระบบสมการโดยใช้กราฟ คือ การเขียนกราฟเส้นตรงจากระบบสมการที่กำหนดให้คำตอบของระบบสมการคือ จุดตัดของกราฟทั้งสองที่ได้ คือ (x , y) ซึ่งเป็นคำตอบของระบบสมการ ถ้าในกรณีที่กราฟทั้งสองเส้นขนานกัน แสดงว่าระบบสมการนั้นไม่มีคำตอบ และถ้ากราฟที่ได้ทั้งสองเส้นทับกันแสดงว่าระบบสมการนั้นมีคำตอบหลายคำตอบ2. การแก้ระบบสมการเชิงเส้นโดยการกำจัดตัวแปรตัวใดตัวหนึ่งการแก้ระบบสมการเชิงเส้นโดยวิธีนี้จะใช้การบวกหรือการลบ ดังนี้1. ใช้สมบัติการบวก ถ้า a , b ,c และ d เป็นจำนวนจริงใด ๆ โดยที่ a = b …………….…….. ❶ c = d ……………………❷❶ + ❷ a + c = b + d2. ใช้สมบัติการลบ ถ้า a , b ,c และ d เป็นจำนวนจริงใด ๆ โดยที่ a = b …………….…….. ❶ c = d ……………………❷❶ – ❷ a – c = b – dและการจะเลือกใช้สมบัติการบวกหรือการลบ ให้พิจารณาวิธีการแก้ระบบสมการ ต่อไปนี้
1. ถ้าต้องการกำจัดตัวแปรใด ให้ใช้สมบัติการคูณ ทำสัมประสิทธิ์ของตัวแปรที่ต้องการกำจัดนั้นให้เท่ากัน หรือให้เป็นจำนวนตรงข้ามกัน
2. ถ้าสัมประสิทธิ์ของตัวแปรที่ต้องการกำจัด เท่ากัน ให้ใช้สมบัติการลบ จะทำให้ตัวแปรนั้นหายไป
3. ถ้าสัมประสิทธิ์ของตัวแปรที่ต้องการกำจัดเป็นจำนวนตรงข้ามกัน ให้ใช้สมบัติการบวก จะทำให้ตัวแปรนั้นหายไป
4. แก้สมการหาค่าตัวแปรที่เหลือ
5. นำค่าของตัวแปรที่ได้ในข้อ 4 แทนค่าในสมการที่โจทย์กำหนดสมการใดสมการหนึ่ง จะได้ค่าของตัวแปรที่เหลือ
3. การแก้ระบบสมการโดยการแทนค่า การแก้ระบบสมการโดยการแทนค่า ใช้วิธีการแทนค่าตัวแปรตัวใดตัวหนึ่งจากสมการหนึ่ง ในสมการอีกอีกตัวหนึ่ง
4. โจทย์สมการเชิงเส้นสองตัวแปรขั้นตอนในการแก้โจทย์ปัญหาสมการเชิงเส้นสองตัวแปร
1. สมมติตัวแปรสองชนิด แทนสิ่งที่โจทย์ถาม
2. พิจารณาว่าตัวแปรที่สมมติเกี่ยวข้องหรือสัมพันธ์กับโจทย์หรือตัวเลขอื่น ๆ ในโจทย์อย่างไร
3. เขียนสมการแสดงความสัมพันธ์ตามเงื่อนไขของโจทย์
4. แก้ระบบสมการโดยอาศัยการแก้ระบบสมการหรือตามแต่วิธีที่สะดวก ข้อควรทราบของผสม N1V1 + N2V2 + N3V3 + … + NnVn = NรวมVรวม ; N = ความเข้มข้น, V = ปริมาตร

สมการเชิงเส้น คือสมการที่แต่ละพจน์มีเพียงค่าคงตัว หรือเป็นผลคูณระหว่างค่าคงตัวกับตัวแปรยกกำลังหนึ่ง ซึ่งจะมีดีกรีของพหุนามเท่ากับ 0 หรือ 1 สมการเหล่านี้เรียกว่า "เชิงเส้น" เนื่องจากสามารถวาดกราฟของฟังก์ชันบนระบบพิกัดคาร์ทีเซียนได้เป็นเส้นตรง รูปแบบทั่วไปของสมการเชิงเส้นในตัวแปร x และ y คือ

$y = mx + b \!$

โดยที่ m คือค่าคงตัวที่แสดงความชันหรือเกรเดียนต์ของเส้นตรง และพจน์ b แสดงจุดที่เส้นตรงนี้ตัดแกน y สำหรับสมการที่มีพจน์ x², y^1/3, xy ฯลฯ ที่มีดีกรีมากกว่าหนึ่งไม่เรียกว่าเป็นสมการเชิงเส้น

http://th.wikipedia.org/wiki

รูปกรวย

รูปกรวย

กรวย ในทางคณิตศาสตร์ให้ความหมายคำว่า กรวย ดังนี้ รูปเรขาคณิตสามมิติที่มีฐานเป็นรูปวงกลม มียอดแหลมที่ไม่อยู่ในระนาบเดียวกันกับฐาน และเส้นที่ต่อระหว่างจุดยอดกับจุดใดๆ บนขอบของฐานเป็นส่วนของเส้นตรง เรียกรูปเรขาคณิตสามมิตนั้นว่า กรวย

สูตรคำนวณต่างๆที่เกี่ยวข้องกับกรวย
ปริมาตรของกรวย = 1/3 X (22/7 หรือ 3.14) X รัศมียกกำลังสอง X สูงตรง
พื้นที่ผิวของกรวย = (22/7 หรือ 3.14) X รัศมี X สูงเอียง + (22/7 หรือ 3.14) X รัศมียกกำลังสอง

กรวย (cone) คือ ทรงสามมิติใด ๆ ที่มีฐานเป็นวงกลม มียอดแหลมที่ไม่อยู่บนระแนบเดียวกันกับฐาน และเส้นที่ต่อระหว่างจุดยอดและจุดใด ๆ บนขอบของฐานเป็นส่วนของเส้นตรง

http://www.thaigoodview.com
https://www.google.co.th/
วันที่ 5 กันยายน 2556

รูปเรขาคณิต

https://www.google.co.th

รูป เรขาคณิต หมายถึง รูปต่างๆ ทางเรขาคณิต เช่น รูปสามเหลี่ยม มีด้าน 3 ด้าน มีมุม 3 มุม รูปสี่เหลี่ยม มีด้าน 4 ด้าน มีมุม 4 มุม รูปห้าเหลี่ยม มีด้าน 5 ด้าน มีมุม 5 มุม รูปหกเหลี่ยม มีด้าน 6 ด้าน มีมุม 6 มุม รูปแปดเหลี่ยม มีด้าน 8 ด้าน มีมุม 8 มุม รูปวงกลม มีเส้นโค้งเป็นวงกลม และห่างจากจุดศูนย์กลางเป็นระยะทางเท่ากัน รูปวงรี มีเส้นเส้นโค้งเป็นวงรี โดยห่างจากจุดศูนย์กลางไม่เท่ากัน

รูปสามเหลี่ยม มีด้าน 3 ด้าน มีมุม 3 มุม

รูปสี่เหลี่ยม มีด้าน 4 ด้าน มีมุม 4 มุม

รูปห้าเหลี่ยม มีด้าน 5 ด้าน มีมุม 5 มุม

รูปหกเหลี่ยม มีด้าน 6 ด้าน มีมุม 6 มุม

รูปแปดเหลี่ยม มีด้าน 8 ด้าน มีมุม 8 มุม

รูปวงกลม มีเส้นโค้งเป็นวงกลม และห่างจากจุดศูนย์กลางเป็นระยะทางเท่ากัน

รูปวงรี มีเส้นเส้นโค้งเป็นวงรี โดยห่างจากจุดศูนย์กลางไม่เท่ากัน http://pukbungzaza.blogspot.com วันที่ 6 กันยายน 2556

พาราโบลาหงาย

บทนิยาม : พาราโบลาคือเซตของจุดทุกจุดบนระนาบ ซึ่งอยู่ห่างจากเส้นตรงที่เส้นหนึ่งบนระนาบและจุดคงที่จุดหนึ่งบนระนาบนอก เส้นตรงคงที่นั้น เป็นระยะทางเท่ากับเสมอ

       ประกอบของพาราโบลาส่วน

      - เส้นคงที่ เรียกว่า ไดเรกตริกซ์ของพาราโบลา - จุดคงที่ (F) เรียกว่า โฟกัสของพาราโบลา - แกนของพาราโบลา คือเส้นตรงที่ลากผ่านโฟกัส และตั้งฉากกับไดเรกตริกซ์ - จุดยอด (V) คือจุดยอดที่พาราโบ-ลาตัดกับแกนของพาราโบลา - เลตัสเรกตัม (AB) คือส่วนของเส้น ตรงที่ผ่านโฟกัส และ มีจุดปลายทั้ง สองอยู่บนพาราโบลา และตั้งฉากกับ แกนของพาราโบลา - เส้นตรงที่ผ่านจุดโฟกัส และตั้งฉากกับไดเรกตริกซ์ เรียกว่า แกนของพาราโบลา
     ก.พาราโบลาที่มีจุดยอดอยู่ที่ (0,0) สมการของพาราโบลาที่มีจุดยอด อยู่ที่ (0,0) แกนของพาราโบลา คือแกน x หรือ แกน y ซึ่งสามารถ แบ่งออกได้เป็น 4 ลักษณะ ดังนี้ ก. แกนของพาราโบลาคือแกน x และ โฟกัสอยู่ที่ (c,o) เมื่อ c > o ไดเรกตริกซ์ คือ เส้นตรง x = -c กราฟของพาราโบลาเปิดขวา
ให้ P (x,y) เป็นจุดใดๆ บนพาราโบลา PR = PQ
        x2 - 2cx + c2 + y2 == x2 - 2cx + c2 y2 = 4cx เมื่อ c > 0
     ข. แกนของพาราโบลาคือแกน x และโฟกัสอยู่ที่ (c,0) เมื่อ c < 0 ไดเรกตริกซ์ คือ เส้นตรง x = -c กราฟของพาราโบลาเปิดซ้าย ใช้วิธีการเดียวกับ ข้อ ก. จะได้สมการของพาราโบลา y2 = 4cx เมื่อ c < 0 จากรูปที่ 2 เรียก AB ว่า เลตัสเรกตัมของพาราโบลา เราสามารถคำนวณหา AB ได้ ซึ่งก็คือ ความกว้างของ พาราโบลา ที่โฟกัส
      สมมุติให้ พิกัดของ A คือ (x,c) ดังนั้น x2 = 4 c c x2 = 4 c2 ดังนั้น x = 2c (เพราะว่า x> 0) แสดงว่า AF = 2c เพราะฉะนั้น AB = 2 AF = 4c นั้นคือ ความยาวของลาตัสเรกตัม = 4c = |4 c| หน่วย โดยทั่วไป สำหรับพาราโบลา ในลักษณะอื่นๆ เราสามารถแสดงได้ว่า ความยาวของลาตัสเรกตัม (L.S.) = |4 c| หน่วย
     ค. แกนของพาราโบลาคือแกน y และโฟกัสอยู่ที่ (0,2) เมื่อ c > 0 ไดเรกตริกซ์ คือเส้นตรง y = -c กราฟของพาราโบลาจะหงาย มีสมการ x2 = 4cy เมื่อ c > 0

สมมุติให้ P (x,y) เป็นจุดๆบนพาราโบลา จากนิยาม PF = PQ

x2 + y2 - 2cy + c2 == y2 + 2cy + c2 x2 = 4cy เมื่อ c > 0

     ง. แกนของพาราโบลาคือแกน y และโฟกัสอยู่ที่ (0,c) เมื่อ c < 0 ไดเรกตริกซ์ คือ เส้นตรง y = -c กราฟของพาราโบลาจะคว่ำ ด้วยวิธีเดียวกับข้อ ค. จะได้สมการพาราโบลา x2 = 4cy เมื่อ c < 0

       สรุป : รูปแบบและลักษณะของพาราโบลาที่มีจุดยอดอยู่ (0,0)

       การหาสมการของพาราโบลาที่จุดยอดที่จุด (h,k) และมีแกนขนานกับ แกน x หรือแกน y 1. เมื่อแกนของพาราโบลาขนานกับแกน x
        รูปที่ 1 แสดงพาราโบลาเมื่อ c > 0 ให้ จุดยอด อยู่ที่ (h,k) โฟกัส อยู่ที่ (h + c,k) ไดเรกตริกซ์เป็นเส้นตรง ที่ x = h - c ย้ายแกน ให้จุด (0,0) เลื่อนไปที่จุด 0' (h,k) ระยะห่างระหว่างจุดยอดกับโฟกัสเท่ากับ |c|หน่วย ดังนั้น สมการของพาราโบลาเมื่อเทียบกับแกนใหม่คือ (y') 2 = 4cx' แต่ถ้าพิกัดของ P เมื่อเทียบกับแกนเดิมคือ (x,y) จะได้ว่า y' = y - k และ x' = x - h ดังนั้น สมการของพาราโบลา เทียบกับแกนเดิมคือ (y - k) 2 = 4c (x - h)

เมื่อ c > 0

รูปที่ 2 แสดงพาราโบลา เมื่อ c < 0
ด้วยวิธีการเลื่อนแกนทางขนาน เช่นเดียวกับ ข้อ 1 สมการของพาราโบลาคือ (y - k) 2 = 4c (x - h)

เมื่อ c < 0

จากสมการ (y - k) 2 = 4c (x - h) กระจายได้ y2 - 2ky + k2 = 4cx - 4ch y2 - 2ky + - 4cx + k2 + 4ch = 0 เมื่อ A = -2k , B = -4c , C = k2 + 4ch จะได้ y2 + Ay + Bx + C = 0 จะได้ สมการของพาราโบลาที่มีแกนของพาราโบลา ขนานกับ แกน x จะได้ สมการของพาราโบลา ในรูปทั่วไป
y2 + Ay + Bx + C = 0

เมื่อ B ไม่เท่ากับ 0

    2.เมื่อแกนของพาราโบลาขนานกับแกน y
       รูป 3 แสดงพาราโบลา เมื่อ c > 0 ให้ จุดยอด อยู่ที่ (h , k) โฟกัสอยู่ที่ (h , k + c) ไดเรกตริกซ์เป็นเส้นตรง y = k - c ย้ายแกนให้จุด (0,0) เลื่อนไปที่จุด 0' (h,k) ระยะห่างระหว่างจุดยอดกับ โฟกัสเท่ากับ ฝcฝหน่วย ดังนั้น สมการของพาราโบลาเมื่อเทียบกับแกนใหม่คือ (x') 2 = 4cy' แต่ถ้าพิกัด ของ P เมื่อเทียบกับแกนเดิม คือ (x,y) จะได้ว่า x' = x - h และ y' = y - k ดังนั้นสมการของพาราโบลา เทียบกับแกนเดิมคือ (x - h) 2 = 4c (y - k) เมื่อ c > 0
   รูป 4 แสดงพาราโบลา เมื่อ c < 0 ด้วยวิธีการเลื่อนแกนทางขนาน เช่นเดียวกับข้อ 2 สมการของพาราโบลา คือ(x - h) 2 = 4c (y - k) เมื่อ c < 0 เมื่อ c < 0
       จากสมการ (x - h) 2 = 4c (y - k) กระจายได้ x2 - 2hx + h2 = 4cy - 4ck x2 - 2hx - 4cy + h2 + 4ck = 0 เมื่อ A = -2k , B = -4c , c = h2+ 4ck จะได้ y2 + Ay + Bx + C = 0 เมื่อ ดังนั้น สมการของพาราโบลาที่มีแกนของพาราโบลา ขนานกับแกน y จะได้สมการของพาราโบลา ในรูปทั่วไป
y2 + Ay + Bx + C = 0เมื่อ B ไม่เท่ากับ 0
     สรุป : รูปแบบและลักษณะของพาราโบลา ที่มีจุดยอดอยู่ที่ (h,k)

ข้อสังเกต 1. การดูลักษณะของพาราโบลา ว่าจะหงาย คว่ำ เปิดด้านขวา หรือด้านซ้าย ให้ดูแกนของพาราโบลา และเครื่องหมายของ c 2. การดูแกนของพาราโบลา ให้ดูตัวแปรในสมการว่าตัวแปรใดมีกำลังสูงสุดเท่ากับหนึ่ง แกนของพาราโบลา จะขนานกับแกนพิกัดของ ตัวแปรนั้น เช่น (x-h) 2 = 4c (y-k) จะมีแกนของพาราโบลาขนานกับแกน y เป็นต้น 3. |c| = c = ระยะห่างระหว่าง จุดยอดและโฟกัส = ระยะห่างระหว่างจุดยอดและไดเรกตริกซ์ 4. การหาพิกัดของโฟกัสและสมการไดเรกตริกซ์ เพียงแต่ใช้จุดยอด และ |c| เป็นหลักในการหาก็เพียงพอ

http://th.wikipedia.org/wiki
https://www.google.co.th/search?q
วันที่ 23 สิงหาคม พ.ศ. 2556

ปริซึม

ปริซึม เป็นรูปทรงที่มีหน้าตัด(ฐาน) ทั้งสองข้างเป็นรูปหลายเหลี่ยมที่เท่ากันทุกประการ มีหน้าข้างเป็นรูปสี่เหลี่ยมมุมฉาก การเรียกชื่อปริซึมจะเรียกตามรูปหน้าตัดของปริซึม
    ปริซึม (อังกฤษ: prism) คือทรงหลายหน้าที่สร้างจากฐานรูปหลายเหลี่ยมที่เหมือนกันและขนานกันสองหน้า และหน้าด้านข้างเป็นรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน พื้นที่หน้าตัดทุกตำแหน่งที่ขนานกับฐานจะเป็นรูปเดิมตลอด และปริซึมก็เป็นพริสมาทอยด์ (prismatoid) ชนิดหนึ่งด้วย
    ปริซึม คือ ทรงสามมิติที่มีฐานทั้งสองเป็นรูปสี่เหลี่ยมที่เท่ากันทุกประการ ฐานทั้งคู่อยู่ในระนาบที่ขนานกัน และด้านข้างแต่ละด้านเป็น

    รูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน

สูตร พื้นที่ผิวของปริซึม = พื้นที่ผิวข้าง + พื้นที่ผิวหน้าตัด
ปริมาตรปริซึม = พื้นที่ฐาน x สูง

พื้นที่ผิวของปริซึม เมื่อคลี่ผิวข้างของปริซึมใด ๆ พบว่า จะเกิดเป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าที่มีความยาวเท่ากับเส้นรอบฐานและส่วน

กว้างเท่ากับความสูง ดังรูป

สูตร พื้นที่ผิวข้าง = เส้นรอบฐาน x สูง

ตัวอย่าง
จงหาปริมาตรของปริซึมต่อไปนี้ (ความยาวที่กำหนดให้มีหน่วยเป็นเมตร)

วิธีทำ ปริมาตรปริซึม = พื้นที่ฐาน x สูง
= (4 x 5) x 8
= 160 ลูกบาศก์เมตร ตอบ

   http://th.wikipedia.org/wiki
   https://www.google.co.th/search?q
   http://www.thaigoodview.com/library/contest2553/type1/math03/09/site/page011.html
วันที่ 21 สิงหาคม 2556